Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - 3 6 3 + x   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a , b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = 3 + x no intervalo [ - 3,6 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Primeiro analisaremos o gráfico da função f x = 3 + x , para definirmos o máximo e mínimo absoluto no intervalo [ - 3,6 ] . Derivando a função, temos:

f ' x = 1 2 3 + x

Como f ' x é uma expressão sempre positiva, podemos perceber que a função é crescente, então seu mínimo será no extremo da esquerda e seu máximo no extremo da direita do intervalo. O mínimo fica em x = - 3 , onde temos f - 3 = 3 - 3 = 0 , e o máximo fica em x = 6 , onde temos f 6 = 3 + 6 = 9 = 3 . Como já temos os valores m = 0 e M = 3 , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - 3,6 ] , m = 0 e M = 3 , sabemos então que:

m 6 - ( - 3 ) ≤   ∫ - 3 6 3 + x   d x ≤ M 6 - ( - 3 ) ⇒ 0 ⋅ 6 + 3 ≤   ∫ - 3 6 3 + x   d x ≤ 3 ⋅ ( 6 + 3 )

⇒ 0 ≤ ∫ - 3 6 3 + x   d x ≤ 27

Resposta

∫ - 3 6 3 + x   d x ∈ [ 0,27 ]

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