Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ 3 7 2 x   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a , b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = 2 x no intervalo [ 3,7 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Como f x = 2 x é uma reta crescente, é bem fácil achar os extremos. O mínimo fica em x = 3 , onde temos f 3 = 6 , e o máximo fica em x = 7 , onde temos f 7 = 14 . Como já temos os valores m = 6 e M = 14 , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ 3,7 ] , m = 6 e M = 7 , sabemos então que:

m 7 - 3 ≤   ∫ 3 7 2 x   d x   ≤ M 7 - 3 ⇒ 6 ⋅ 4   ≤   ∫ 3 7 2 x   d x ≤ 14 ⋅ 4

⇒ 24 ≤ ∫ 3 7 2 x   d x ≤ 56

Resposta

∫ 3 7 2 x   d x ∈ [ 24,56 ]

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