Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - 1 4 ( x 4 - 8 x 2 + 16 )   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x 4 - 8 x 2 + 16 no intervalo [ - 1 ,   4 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Primeiro analisaremos o gráfico da função f x = x 4 - 8 x 2 + 16 , para definirmos o máximo e mínimo absoluto no intervalo [ - 1 ,   4 ] . Derivando a função, temos:

f ' x = 4 x 3 - 16 x

Podemos ter um máximo ou mínimo relativo quando f ' ( x ) for zero ou quando não existir. O valor 4 x 3 - 16 x existe para qualquer x real, então queremos f ' x = 0 no intervalo - 1 ,   4 .

4 x 3 - 16 x = 0 ⇒ 4 x x 2 - 4 = 0

x = 0 é uma raíz pra essa equação. As outras raízes são x = - 2 e x = 2 , mas como - 2 não pertence ao intervalo, o descartamos. Então temos f ' 0 = f ' 2 = 0 , pontos críticos da função no intervalo dado. Agora precisamos analisar os valores da função nesses pontos e nos extremos x = - 1 e x = 4 , para descobrirmos os valores máximo e mínimo absolutos da função em [ - 1,4 ] .

Passo 3

Analisamos agora o valor da função nos pontos críticos x = 0 e x = 2 , e nos extremos x = - 1 e x = 4 .

f 2 = 2 4 - 8 ⋅ 2 2 + 16 = 16 - 8 ⋅ 4 + 16 = 32 - 32 = 0

f 0 = 0 4 - 8 ⋅ 0 + 16 = 16

f - 1 = - 1 4 - 8 ⋅ - 1 2 + 16 = 1 - 8 + 16 = 9

f 4 = 4 4 - 8 ⋅ 4 2 + 16 = 256 - 8 ⋅ 16 + 16 = 272 - 128 = 144

O mínimo absoluto do intervalo é então m = f 2 = 0 e o máximo é M = f 4 = 144 . Como já temos os valores m e M , podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - 1 ,   4 ] , m = 0 e M = 144 , sabemos então que:

m 4 - ( 1 ) ≤   ∫ - 1 4 ( x 4 - 8 x 2 + 16 )   d x ≤ M 4 - ( - 1 )

⇒ 0 ⋅ ( 4 + 1 ) ≤   ∫ - 1 4 x 4 - 8 x 2 + 16 d x ≤ 144 ⋅ ( 4 + 1 )

⇒ 0 ≤ ∫ - 1 4 ( x 4 - 8 x 2 + 16 )   d x ≤ 720

Resposta

∫ - 1 4 ( x 4 - 8 x 2 + 16 )   d x ∈ [ 0 ,   720 ]

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