Enunciado

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ 0 2 x 3 + 1   d x

Passo 1

A Propriedade 8 do livro diz respeito ao teorema do valor médio para integrais. O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo [ a ,   b ] , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo M e valor mínimo m , então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Então podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema. Saberemos então entre que valores está a integral.

Passo 2

Temos a função f x = x 3 + 1   no intervalo 0 ,   2 e queremos achar o máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Vamos derivar a função para analisar o crescimento e decrescimento e veificar se tem pontos críticos:

f x = x 3 + 1 1 / 2

f ' x = 1 2 x 3 + 1 3 / 2 3 x 2 = 3 x 2 2 x 3 + 1 3 / 2

A derivada sempre existe e é sempre positiva no intervalo dado, então a função é crescente nele. Isso significa que o valor mínimo da função ocorre no início do intervalo e o valor máximo no final. Temos então os valores de m e M :

m = f 0 = 1

M = f 2 = 2 3 + 1 = 9 = 3

Aplicando então o teorema:

1 ( 2 - 0 ) ≤ ∫ 0 2 x 3 + 1   d x ≤ 3 ( 2 - 0 )

⇒ 2 ≤ ∫ 0 2 x 3 + 1   d x ≤ 6

Sabemos então que a integral está entre esses dois valores.

Resposta

2 ≤ ∫ 0 2 x 3 + 1   d x ≤ 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2
Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5
Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade 1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1
Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]
Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade. ∫ 1 3 x 4 + 1d x ≥ 26 3