Enunciado

Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-

cios 21-24

∮     C ( 6 y + x ) d x + ( y + 2 x ) d y

C : A circunferência ( x - 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = 4 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Apliquemos o teorema de Green ∮   C F → ⋅ T ‾ d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y para calcularmos a integral ∮   C ( 6 y + x ) d x + ( y + 2 x ) d y , onde C corresponde a qualquer curva fechada simples no plano para o qual o teorema de Green é válido.

Passo 2

Inicialmente definiremos M e N : M = 6 y + x , N = y + 2 x .Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = 6 , ∂ N ∂ x = 2

Passo 3

Para calcularmos a integral usando o teorema de Green devemos substituir os valores de ∂ M ∂ y e ∂ N ∂ x em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvermos a integral dupla, como segue:

∮     C ( 6 y + x ) d x + ( y + 2 x ) d y = ∬ R     [ 2 - 6 ] d x d y   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     - 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π     - 2 r 2 2 0 2 d θ = - 16 π

Resposta

Assim, a integral de F → ao longo de C é - 16 π .

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