Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Temos que a região D é o retângulo formado por 0,5 × [ 0,2 ] , ou seja, 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 2 . Assim, temos que os limites de integração são mais simples. Aplicando o teorema de Green, temos que

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= ∫ ∫ D ∂ ∂ x x 2 ⋅ sin ⁡ y - ∂ ∂ y cos ⁡ y ⋅ d A = ∫ 0 5 ∫ 0 2 2 ⋅ x ⋅ sin ⁡ y + sin ⁡ y ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ 0 5 ∫ 0 2 2 ⋅ x + 1 ⋅ sin ⁡ y ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 5 2 ⋅ x + 1 ⋅ d x ⋅ ∫ 0 2 sin ⁡ y ⋅ d y =

= 2 ⋅ x 2 2 + x 0 5 ⋅ - cos ⁡ y 0 2 = 25 + 5 ⋅ - cos ⁡ 2 + 1 = 30 ⋅ 1 - cos ⁡ 2

Resposta

∫ C cos ⁡ y ⋅ d x + x 2 ⋅ sin ⁡ y ⋅ d y = 30 ⋅ 1 - cos ⁡ 2

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