Enunciado

Após acionado o flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, que armazena uma carga elétrica dada por

Q t = Q 0 . 1 - e - t / a

(A capacidade máxima de carga é Q 0 , e t é medida em segundos.)

(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.

(b) Quanto tempo levará para recarregar o capacitor 90 % da capacidade, se a = 2 ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:

Q t = Q 0 . 1 - e - t / a

Onde Q 0 é uma constante e t é a nossa variável, o tempo de recarga em segundos.

Queremos encontrar a função inversa (e explicar o que ela significa) e determinar o tempo que levará para recarregar o capacitor 90 % da capacidade se a = 2 .

Na maioria das vezes, calcular a inversa é um processo bem simples. No geral, basta isolar a variável independente, que no caso aqui é t .

Se Q ( t ) é uma função de t , sua inversa vai ser t , uma função de Q .

Vamos lá!

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Q = Q 0 . 1 - e - t a

Agora, vamos isolar t com uma álgebra simples (lembrando que Q 0 não é uma variável e sim uma constante do problema):

Q Q 0 = 1 - e - t a

Vamos colocar todos os termos independentes de t do mesmo lado:

e - t / a = 1 - Q Q 0

Agora, vamos lembrar que a função inversa da exponencial é o logaritmo, então se a gente aplicar log dos 2 lados, tiramos o t do expoente. Mas expecificamente, temos que aplicar o logaritmo neperiano, que é o log de base e .

ln ⁡ e - t a = ln ⁡ 1 - Q Q 0

Como eu disse, o log é a função inversa da exponencial, então elas se cancelam:

ln ⁡ e - t a = - t a

Portanto, nossa equação fica assim:

- t a = ln ⁡ 1 - Q Q 0

E jogando o - a pro outro lado, encontramos a inversa!

t = - a . ln ⁡ 1 - Q Q 0

Passo 3

Com a inversa calculada, podemos agora extrair um significado disso, e é bem simples.

Se antes, medindo o tempo podíamos calcular a carga do capacitor, com a função inversa, tendo medido a carga instantânea podemos calcular quanto tempo se passou desde o momento do flash até o instante correspondente a essa carga.

Passo 4

O item (b) dessa questão cobra exatamente o significado da função inversa visto no passo anterior, ou seja, queremos saber quanto tempo se passou desde o instante inicial (flash) até o instante da carga correspondente a 90% do valor máximo ( Q 0 ).

Q = 90 %   Q 0

Substituindo na função inversa: que encontramos no passo 2:

t = - a . ln ⁡ 1 - Q Q 0

t = - a . ln ⁡ 1 - 90 %   Q 0 Q 0

Agora resolvendo:

t = - a . ln ⁡ 1 - 0,9

t = - a . ln ⁡ 0,1

E como a = 2 :

t = - 2 . ln ⁡ 0,1

t ( 90 %   Q 0 ) ≈ 4,6 segundos

Levará aproximadamente 4,6 segundos para que o capacitor alcance 90% da capacidade.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

t = - a . ln ⁡ 1 - Q Q 0

4,6   s e g

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse l o g 10x l o g 2x como razão de logaritmo natural e simplifique.
Expresse l o g 2x l o g 3x como razão de logaritmo natural e simplifique.
Determine o valor exato da expressão: c o s^(- 1) ( (1)/(2) )
Determine o valor exato da expressão: a r c c o s^() ( - 1 )
Determine o valor exato da expressão: s e n^(- 1) ( - (1)/(2) )