Determine o valor exato da expressão: sen^(-1)(-1/2)

Passo 1

E aí, galera! Seguinte: eu sei que esse “ s e n - 1 ” assusta, mas saiba duas coisas:

Isso não é a mesma coisa que 1 s e n !!

Então o que é? É a mesma coisa que a r c s e n . O que é isso? É o arco que tem determinado valor para seno

Calma, que vai ficar mais claro pra você daqui a pouco. Mas antes, preciso que você tenha em mente os arcos fundamentais e seus senos e cossenos correspondentes, ok?

Por exemplo:

30° ( π 6 ) ⇒ s e n   30 °   = 1 2 e c o s   30 °   =   3 2

45°( π 4 ) ⇒ s e n   45 °   = c o s   45 °   =   2 2

60°( π 3 ) ⇒ s e n   60 °   =   3 2 e c o s   60 °   =   1 2

Vamos lembrar outra coisa também:

Saca só esse Círculo Trigonométrico! Tá vendo que, quando você pega um ângulo no sentido anti-horário, o sinal do ângulo é positivo e, quando pega um ângulo no sentido horário, o sinal dele é negativo? Isso é importante. Se você tem dúvidas nessa matéria, sugiro você fazer uma revisãozinha, porque esse conceito é importante.

Outra coisa: o seno de um ângulo negativo é a mesma coisa que menos o seno do mesmo ângulo só que com sinal positivo (ou seja, s e n   ( - x )   =   -   s e n   x ).

Só mais uma coisa: o s e n - 1 tem um intervalo específico pra ser válido, que é [ - π 2 ,   π 2 ] . Isso se dá porque, fora desse intervalo, a função deixa de ser injetora (quando dois senos forem iguais, os ângulos precisam ser iguais. E isso acontece em [ - π 2 ,   π 2 ] ) e ela tem que ser injetora porque as injetoras possuem uma função inversa e o s e n - 1 é a função inversa do seno.

Agora que revisei isso com você, bora lá?

Passo 2

Eu sei que eu falei demais lá e cima, mas aqui vai ser rapidinho, prometo!

O que o nosso problema quer é o s e n - 1 ( - 1 2 ), ou seja, o arco cujo seno vale - 1 2 . Pra isso, precisamos saber onde o seno vale 1 2 , entre o intervalo [ - π 2 ,   π 2 ] . Nesse caso, é o 30° ( π 6 ).

Então, se eu andar π 6 radianos no sentido positivo de y, vou ter o seno valendo 1 2 . Agora, e se eu andar π 6 radianos no sentido negativo de y? Aí eu estarei na parte negativa do seno, ou seja, vai ser - 1 2 . E esse “ π 6 radianos no sentido negativo” é o - π 6 radianos. Logo, essa é a resposta!

Resposta

- π 6

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