Enunciado

Expresse l o g 10   x l o g 2   x como razão de logaritmo natural e simplifique.

Passo 1

Olá! Pra essa questão nós precisamos lembrar dessa relação aqui: l o g a   x   =   l n   x l n   a , para todo a > 0 e a ≠ 1 .

Olha só, tá vendo que na expressão que o exercício pediu pra simplificar (essa aqui l o g 10   x l o g 2   x ), temos log em cima e log embaixo da fração?

Então a gente vai ter que fazer a relação separada pro que tá em cima e pro que tá embaixo. Se liga ai no passo 2.

Passo 2

Pro que tá em cima ( l o g 10   x ) , a relação fica assim:

l o g 10   x   =   l n   x l n   10

Pro que tá embaixo ( l o g 2   x ) , a relação fica assim:

l o g 2   x   =   l n   x l n   2

Passo 3

Mas, o exercício quer l o g 10   x l o g 2   x , né? Então vamos substituir as relações acima na expressão que vai, então, ficar assim:

  l o g 10   x l o g 2   x   =     l n   x l n   10   l n   x l n   2  

Agora, usando a propriedade de divisão de frações… (é aquela do “repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda”)

l o g 10   x l o g 2   x =     l n   x l n   10   ⋅   l n   2 l n   x

Cortando o     l n   x de cima com o de baixo…

l o g 10   x l o g 2   x   = l n   2 l n   10  

Repara que l n   2   =   l n   ( 2 1 2 ) e l n   10     =   l n   ( 10 1 2 ) . Mas lembra da propriedade do log que desce o expoente que está dentro do log? Então por conta disso, repara também que l n   2 1 2 =   1 2   l n   2   e que   l n   ( 10 1 2 )   =   1 2   l n   10 ,

Assim, temos:

l n   2 l n   10   =     1 2   l n   2 1 2   l n   10   = l n   2 l n   10

Porque a gente corta o 1 2   de cima com o debaixo.

Resposta

l n   2 l n   10

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