Enunciado

Após o consumo de uma bebida alcoólica, a concentração de álcool na corrente sanguínea (concentração de álcool no sangueou BAC) aumenta à medida que o álcool é absorvido, seguido de declínio gradual à medida que o álcool é metabolizado. A função

C t = 1,35   t e - 2,802 t

modela o BAC médio, medido em mg/mL, de um grupo de oito sujeitos do sexo masculino t horas após consumo rápido de 15 mL de etanol (correspondente a uma bebida alcoólica). O que é BAC médio máximo durante as primeiras 3 horas? Quando fazisso ocorre?

Passo 1

O enunciado nos da uma fórmula que modela a concentração de álcool no organismo em relação ao tempo, após uma pessoa ingerir uma dose de bebida alcoólica:

C t = 1,35   t e - 2,802 t

A pergunta que a gente tem que responder é: Qual a concentração máxima de álcool em m g / m L no sangue de uma pessoa, dentro de um período de 3 horas após ela consumir 15   m L de bebida alcoólica.

Falando assim parece complicado, mas essa é uma questão onde precisamos achar o(os) pontos críticos da função, pra assim chegar no ponto de máximo!

Passo 2

Para achar o ponto crítico da função precisamos deriva-la e iguala-la a zero:

C ' t = d 1,35   t e - 2,802 t d t = 0

Precisamos usar a regra do produto:

C ' t = 1,35 t d t e - 2,802 t d t + d t d t e - 2,802 t

C ' t = 1,35 e - 2,802 t ( - 2,802 t + 1 )

Pronto, agora que sabemos a derivada da nossa função, podemos descobrir qual o seu valor crítico!

Passo 3

Agora, vamos igualar nossa derivada a zero e encontrar os valores de C(t) para os extremos do intervalo e o valor crítico.

1,35 e - 2,802 t ( - 2,802 t + 1 ) = 0

t =   - 1 - 2,802 = 0,36 h  

C 0 = 0  

C ( 0,36 ) = 0,177  

C 3 = 0,0009

Agora sim! Analisando os valores acima vemos que a concentração máxima de álcool no sangue é atingida 0,36 h depois do consumo de álcool e ela é igual a 0,177   m g / m L .

Resposta

A concentração máxima de álcool no sangue é atingida 0,36 h depois do consumo de álcool e ela é igual a 0,177   m g / m L .

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