Enunciado

Aproximações lineares comuns em x = 0 Determine as linearizações das seguintes funções em x = 0 .

  1. l n ⁡ ( 1 + x )

Passo 1

Utilizando a definição do que é uma derivada por limite conseguimos encontrar a derivada de l n ⁡ ( x )

Derivada por limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Isso é o limite da função mais um pouquinho da função menos a função sobre esse pouquinho

Se fizermos isso e aplicarmos as propriedades de logaritmos encontramos:

f ' x = 1 x + 1

Passo 2

Aplicando o valor de x na função dada temos:

f 0 = ln ⁡ 1 + 0 = 0

Aplicando esse valor na função derivada teremos:

f ' 0 = 1 0 + 1 = 1

Multiplicando por ( x - a ) temos:

1 x - 0 = x

Passo 3

Juntando tudo temos nossa função linearizada:

L x = x

Resposta

L x = 0

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1) Encontre a linearização L ( x ) da função em a . f x = x 3 , a = 1
2) Encontre a linearização L ( x ) da função em a . f x = ln ⁡ x , a = 1
6) Encontre a aproximação linear da função g x =1 + x 3 em a = 0 e use-a para aproximar os números 0,95 3 e 1,1 3 . Ilustre fazendo os gráficos de g e da reta tangente
5) Encontre a aproximação linear da função f x = 1 - x em a = 0 e use-a para aproximar os números 0,9 e 0,99 . Ilustre fazendo os gráficas de f e da reta tangente.
10) Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1. e x ≈ 1 + x