Enunciado

Encontre a aproximação linear da função g x =   1 + x 3 em a = 0 e use-a para aproximar os números 0,95 3 e 1,1 3 . Ilustre fazendo os gráficos de g e da reta tangente

Passo 1

E aee, belezinha?? Então.. a questão quer que a gente encontre a aproximação linear da seguinte função em a = 0 :

g x =   1 + x 3

Para isso, devemos aplicar a seguinte fórmula da linearização L x :

L x = g a + g ' ( a ) ( x - a )

Com essa aproximação linear, devemos utilizar para aproximar os números 0,95 3 e 1,1 3 .

Por fim, vamos plotar o gráfico de g e da reta tangete.

Passo 2

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = g a + g ' ( a ) ( x - a )

Para isso vamos derivar g ( x ) :

g ' x = 1 3 1 + x 2 3

Passo 3

Então, L ( x ) em a é:

L x = 1 + a 3 + 1 3 1 + a 2 3 ( x - a )

L x = 1 + 0 3 + 1 3 1 + 0 2 3 ( x - 0 )

L x = 1 + x 3

Passo 4

Agora, para os números 0,95 3 e 1,1 3 temos:

  1. 0,95 3 :

1 + x = 0,95 ⇒ x = - 0,05

0,95 3 ≈ 1 + ( - 0,05 ) 3

0,95 3 ≈ 0,98333

2) 1,1 3 :

1 + x = 1,1 ⇒ x = 0,1

1,1 3 ≈ 1 + 0,1 3

1,1 3 ≈ 1,0333

Passo 5

Para ilustrar a situação, temos o gráfico:

Resposta

L x = 1 + x 3

0,95 3 ≈ 0,98333

1,1 3 ≈ 1,0333

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