Enunciado

Aproxime f por uma série polinomial de Taylor, com grau n no ponto a . Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x = T n ( x ) quando x está no intervalo dado. Verifique o resultado da parte anterior fazendo o gráfico de R n ( x ) .

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte situação

f x = x - 1 / 2 ,       a = 4 ,       n = 2 ,       3,5 ≤ x ≤ 4,5

Dessa forma, a série de Taylor para f é dada por:

T 2 x = 1 / 2 0 ! x - 4 0 - 1 / 16 1 ! x - 4 1 + 3 / 128 2 ! x - 4 2

E, simplificando a expressão, temos:

T 2 x = 1 2 - 1 16 x - 4 + 3 256 x - 4 2

A tabela a seguir mostra os valores para cada n :

Passo 2

Agora, usando a desigualdade de Taylor, temos que:

R 2 ( x ) ≤ M 3 ! x - 4 3

Sendo que f 3 ( x ) ≤ M . Dessa forma, como o intervalo fornecido no enunciado é 3,5 ≤ x ≤ 4,5 , então temos que:

x - 4 ≤ 0,5 → x - 4 3 ≤ 0 , 125

Conforme tabela do passo 1, temos que f 3 ( x ) está decaindo no intervalo [ 3,5 ; 4,5 ] , podemos pegar o maior valor nesse intervalo como sendo:

M = f 3 ( x ) = 15 8 3,5 7 / 2

Sendo assim, substituindo esse valor para R 2 ( x ) , obtemos:

R 2 ( x ) ≤ 15 6.8 3,5 7 / 2 0,125 = 0 , 00049

Passo 3

A seguir temos o gráfico de R 2 ( x ) = x - 1 / 2 - T 2 ( x )

De acordo com o gráfico, o erro aparenta ser menor do que 0,00035 no intervalo especificado.

Resposta

T 2 x = 1 2 - 1 16 x - 4 + 3 256 x - 4 2

R 2 ( x ) ≤ 0,00049

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