Enunciado

Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) para a função f ao redor de a . Esboce o gráfico de f e de T 3 no mesmo gráfico.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = sen ⁡ x ,       a = π 6

Dessa forma, a série de Taylor para f é dada por:

T 3 x = ∑ n = 0 3 f n π / 6 n ! x - π 6 n

Passo 2

Podemos expandir a série de Taylor escrita no passo 1 como:

T 3 x = 1 / 2 0 ! x - π 6 0 + 3 / 2 1 ! x - π 6 1 + 1 / 2 2 ! x - π 6 2 + 3 / 2 3 ! x - π 6 3

E simplificando a expressão, obtemos:

T 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 + 3 12 x - π 6 3

Passo 3

Agora, substituindo o valor de a na expressão, obtemos os seguintes resultados:

E o gráfico contendo f e T 3 ( x ) é dado a seguir:

Resposta

T 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 + 3 12 x - π 6 3

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