Enunciado

Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f x = x ⋅ t g - 1 x

Passo 1

Bom, para resolvermos esta questão não precisamos desenvolver nenhuma série de Maclaurin em si. Basta voltarmos na seção do livro e adaptarmos as séries já desenvolvidas!

Vamos começar relembrando qual a série para a função f x = t g - 1 x . Temos então a seguinte série:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema.

Percebam que temos um produto de funções. Um produto de x por t g - 1 x , sendo esta última a função que escrevemos a série de Maclaurin.

E então? O que fazer? Vamos escrever a função t g - 1 x na forma de série de Maclaurin. Logo,

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

E agora? Basta multiplicarmos! Simples, né!

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 n + 1

Pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = x ⋅ t g - 1 x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 n + 1

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