Enunciado

Aproxime f por uma série polinomial de Taylor, com grau n no ponto a . Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x = T n ( x ) quando x está no intervalo dado. Verifique o resultado da parte anterior fazendo o gráfico de R n ( x ) .

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte situação

f x = 1 x ,       a = 1 ,       n = 2 ,       0,7 ≤ x ≤ 1,3

Dessa forma, a série de Taylor para f é dada por:

T 2 x = 1 0 ! x - 1 0 - 1 1 ! x - 1 1 + 2 2 ! x - 1 2

T 2 x = 1 - x - 1 + x - 1 2

A tabela a seguir mostra os valores para cada n :

Passo 2

Agora, usando a desigualdade de Taylor, temos que:

R 2 ( x ) ≤ M 3 ! x - 1 3

Sendo que f 3 ( x ) ≤ M . Dessa forma, como o intervalo fornecido no enunciado é 0,7 ≤ x ≤ 1,3 , então temos que:

x - 1 ≤ 0,3 → x - 1 3 ≤ 0,027

Conforme tabela do passo 1, temos que f 3 ( x ) está decaindo no intervalo [ 0,7 ; 1,3 ] , podemos pegar o maior valor nesse intervalo como sendo:

M = f 3 ( x ) = 6 0,7 4

Sendo assim, substituindo esse valor para R 2 ( x ) , obtemos:

R 2 ( x ) ≤ 6 0,7 2 6 0,027 = 0,112453

Passo 3

A seguir temos o gráfico de R 2 ( x ) = 1 x - T 2 ( x )

De acordo com o gráfico, o erro aparenta ser menor do que 0,05 no intervalo especificado.

Resposta

T 2 x = 1 - x - 1 + x - 1 2

R 2 ( x ) ≤ 0,112453

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