f(x, y) = (e^(x/y) * arctan(x/y) + sen(cos(x/y))) / raiz cubica(x^3 + y^3) verifica a equação x (\partial f / \partial x) + y (\partial f / \partial y) = -f ? Por quê?

Passo 1

Para provar a relação de Euler, vamos substituir a função f x , y na relação de Euler:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 f

x ∂ e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3 ∂ x + y ∂ e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3 ∂ y = - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3

Passo 2

Vamos aplicar agora a regra do quociente da derivada. Como a equação é grande, vamos resolve-las por parte. Derivando o primeiro termo:

x e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y ' x 3 + y 3 3 - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3 ' x 3 + y 3 3 2

x e x y x y ' arctan ⁡ x y + e x y arctan ⁡ x y ' x y ' + cos ⁡ cos ⁡ x y cos ⁡ x y ' x y ' x 3 + y 3 3 x 3 + y 3 2 3 - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y 1 3 x 3 + y 3 - 2 3 x 3 + y 3 ' x 3 + y 3 2 3

x e x y arctan ⁡ x y y + e x y 1 1 + x y 2 y + cos ⁡ cos ⁡ x y - sin ⁡ x y y x 3 + y 3 3 - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y 1 3 3 x 2 x 3 + y 3 4 3

x e x y arctan ⁡ x y + e x y y 2 y 2 + x 2 - cos ⁡ cos ⁡ x y sin ⁡ x y y x 3 + y 3 3 - x 2 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3

x e x y arctan ⁡ x y + e x y y 2 y 2 + x 2 - cos ⁡ cos ⁡ x y sin ⁡ x y y x 3 + y 3 3 - x 3 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3

Passo 3

Derivando agora o segundo termo:

y e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y ' x 3 + y 3 3 - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3 ' x 3 + y 3 3 2

y e x y x y ' arctan ⁡ x y + e x y arctan ⁡ x y ' x y ' + cos ⁡ cos ⁡ x y cos ⁡ x y ' x y ' x 3 + y 3 3 x 3 + y 3 2 3 - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y 1 3 x 3 + y 3 - 2 3 x 3 + y 3 ' x 3 + y 3 2 3

y e x y arctan ⁡ x y - x y 2 + e x y 1 1 + x y 2 - x y 2 + cos ⁡ cos ⁡ x y - sin ⁡ x y - x y 2 x 3 + y 3 3 - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y 1 3 3 y 2 x 3 + y 3 4 3

y - x e x y arctan ⁡ x y + e x y y 2 y 2 + x 2 - cos ⁡ cos ⁡ x y sin ⁡ x y y 2 x 3 + y 3 3 - y 2 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3

- x e x y arctan ⁡ x y + e x y y 2 y 2 + x 2 - cos ⁡ cos ⁡ x y sin ⁡ x y y x 3 + y 3 3 - y 3 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3

Passo 4

Juntando agora os dois primeiros termos:

x e x y arctan ⁡ x y + e x y y 2 y 2 + x 2 - cos ⁡ cos ⁡ x y sin ⁡ x y y x 3 + y 3 3 - x 3 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3

+ - x e x y arctan ⁡ x y + e x y y 2 y 2 + x 2 - cos ⁡ cos ⁡ x y sin ⁡ x y y x 3 + y 3 3 - y 3 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3

- x 3 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3 - y 3 e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3

Colocando em evidência:

- e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 4 3 x 3 + y 3 = - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3

Agora, vamos comparar com o lado esquerdo da relação de Euler:

- e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3 = - e x y arctan ⁡ x y + sin ⁡ cos ⁡ x y x 3 + y 3 3 = - f

Protinho!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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