Enunciado

Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .

  1. z = s e n ( x y ) , x = 3 t , y = t 2

Passo 1

Bora lá, galera, vamos calcular essa derivada das duas formas. A primeira que ele mostrou pra gente é substituindo o x e o y direto na expressão de z , e depois derivar em t , assim:

z = s e n x y

Substituindo,

z = s e n 3 t × t 2

z = s e n 3 t 3

Derivando (sem esquecer da regrinha da cadeia!)

d z d t = d d t s e n 3 t 3

d z d t = c o s 3 t 3 d d t ( 3 t 3 )

Derivando o polinômio e arrumando, chegamos em:

d z d t = 9 t 2 c o s ( 3 t 3 )

Passo 2

Beleza, agora vamos pro outro método, o da regra da cadeia direto! A expressão dela é assim:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t  

Vamos calcular cada parcelinha separado! Primeiro as derivadas parciais:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x s e n x y = y c o s ( x y )

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y s e n x y = x c o s x y

Agora as derivadas “normais” hahah

d x d t = d d t 3 t = 3

d y d t = d d t t 2 = 2 t

Juntando tudo na expressão da regra da cadeia:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

d z d t = 3 y c o s x y + 2 t x c o s ( x y )

Substituindo x e y pelas expressões em t :

d z d t = 3 t 2 c o s 3 t 3 + 2 t 3 t c o s ( 3 t 3 )

Arrumando,

d z d t = 9 t 2 c o s ( 3 t 3 )

Resposta

d z d t = 9 t 2 c o s ( 3 t 3 )

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Suponha que y = g ( x ) seja diferenciável no intervalo aberto I e da dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Suponha, ainda, ∂ f ∂ y x , y ≠ 0 em D f
Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y Suponha x ∂ f ∂ x - y ∂ f ∂ y = 0 .a) Mostre que ∂ y ∂ u = - y x ∂ x ∂ u
Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y a) Expresse ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u em termos de x e y .b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y
Sejam x = x ( y , z ) , y = y ( x , z ) e z = z x , y definidas implicitamente pela equação F x , y , z = 0 . Suponha x 0 = x ( y 0 , z 0 ) , y 0 = y ( x 0 , z 0 ) , z 0 = z ( x 0 , y 0 ) e que no pon
Calcule:a) ∂ F , G ∂ x , y sendo F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e G x , y , z = x + y + z .b) ∂ u , v ∂ ( y , z ) sendo u = x y z e v = x 3 + y 2 .c) ∂ x , y ∂ ( r , s ) sendo x = r + 3 s + t 2 e y = r