Enunciado

Areia cai de uma calha de escoamento formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao diâmetro. Se a altura crescer a uma taxa constante de 5   p é s / m i n , a que taxa a areia estará escoando quando a pilha tiver 10   p é s de altura?

Passo 1

Ele diz pra gente que a cuja altura é sempre igual ao diâmetro ( h = D ), masss o diâmetro é o dobro do raio. Então podemos dizer que:

h = 2 r

Passo 2

Mas como podemos relacionar os dados de taxa de escoamento com a variação do raio e da altura? Pra isso podemos usar a fórmula de volume do cone:

V = 1 3   π r 2 h

O enunciado pede a taxa de escoamento, que nada mais é do que a velocidade com que a pilha de areia está sendo formada, ou seja, a velocidade de formação desse cone ( d V / d t ).

Além disso o enunciado nos diz que a altura cresce a uma taxa constante de 5   p é s / m i n , ou seja:

d h d t = 5   p é s / m i n

Já que nessa questão não vamos nos preocupar em saber a taxa com que o raio do cone cresce, podemos substituir dentro da expressão do volume que

h = 2 r       ⇒           r = h 2

fazendo isso ficamos com:

V = 1 3   π r 2 h

V = 1 3   π h 2 2 h

V = π 12 h 3

Passo 3

Agora pra relacionarmos as taxas de crescimento desses caras, podemos derivar em relação ao tempo a expressão do volume:

d V d t = d d t π 12 h 3 = π 12 d h 3 d t

Pela regra da cadeira:

d V d t = π 12 d h 3 d h d h d t

d V d t = π 12 3 h 2 d h d t

Chegamos que:

d V d t = π h 2 4 d h d t               e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 4

Substituindo os valores de:

d h d t = 5   p é s / m i n

E h = 10   p é s , para aquele instante, na equação (1):

d V d t = π h 2 4 d h d t

d V d t = π ( 10 ) 2 4 5

d V d t = 125 π   p é s 3 / m i n

Então como a taxa de escoamento nada mais é do que a a velocidade de formação do cone ( d V / d t ) . Encontramos nossa resposta 😊

Resposta

125 π   p é s 3 / m i n

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