Enunciado

Escada que escorrega Uma escada com 13 pés de comprimento está apoiada verticalmente em uma casa quando sua base começa a escorregar (veja a figura a seguir), afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela escorrega a uma taxa de 5 pés/s.

a. A que velocidade o topo da escada escorrega para baixo na parede?

b. Qual a taxa de variação da área do triângulo formado pela escada, parede e solo?

c. Qual a taxa de variação do ângulo θ , formado pela escada e pelo solo?

Passo 1

Anotando os dados da questão:

x = 12

d x d t = 5 p é s s

l = 13   p é s

Onde:

Uma vez que a base da escada encontra-se no eixo x , e se a escada tem 13 pés(ft) podemos achar y por Pitágoras.

l 2 = x 2 + y 2

13 2 - 12 2 = y 2 → y = 5

Mas espera, se podemos achar a distância por Pitágoras, podemos então achar a velocidade por esse mesmo método não?

x 2 + y 2 = 13 2

Derivando-se no tempo essa equação temos:

2 x d x d t + 2 y d y d t = 0

Como queremos o valor da velocidade vertical da escada d y d t , devemos explicita-la:

d y d t =   - 2 x 2 y d x d t = - x y d x d t

Substituindo os valores:

d y d t = - 12 f t 5 f t × 5 p é s s = - 12   p é s s

Passo 2

Letra b)

A área formado entre a escada, a parede e o solo é a área do triângulo retângulo que se forma entre elas, e que pode ser dada por:

A = x y 2

E a variação dessa área pode ser escrita como:

d A d t = 1 2 x d y d t + 1 2 y d x d t

Agora substituindo seus valores, temos:

d A d t = 1 2 ×   12 f t × - 12 f t s + 1 2 × 5 f t × 5 p é s s

d A d t = - 59.5   p é s 2 s

Passo 3

Letra c)

Para se calcular a taxa de variação de ângulo pode se escolher qualquer relação trigonométrica que se conheça (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, etc...). Mas escolha com sabedoria, escolha uma relação que tenha menos variantes, tipo, a tangente de um triangulo retângulo me dá a relação entre y e x(duas variáveis), por outro lado o seno me da relação entre y e o tamanho da escada (apenas uma variável).

Logo, escolherei a função seno pra resolver, mas poderia ser cosseno, secante, cossecante sem problema.

s i n θ = y 13

Derivando-se no tempo temos:

c o s θ d θ d t = 1 13 d x d t  

Nesse exato instante sabemos que cos ⁡ θ = a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 12 13

Logo:

d θ d t = 1 13 1 p é s 12 13 × - 12   p é s s = - 1 r a d s

Resposta

  1. d y d t =   - 12 p é s s

b) d A d t = - 59.5 p é s 2 s

c) d θ d t = - 1 r a d s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5 m 3 / m i n . Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12 m ?
11. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8 c m 3 / m i n . Ache a taxa segundo a qualo raio está crescendo quando a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro.
A lei adiabática (sem ganho ou perda de calor) para expansão do ar é P V 1,4 = C , onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades de volume e C uma constante. Nu
20. Para a célula do Exercício 18, qual será a taxa de aumento da área quando o seu raio for 1,5μ m ?
9. Uma pipa está voando a uma altura de 40m. uma criança está empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3 m / s . Se a linha estiver esticada, com qu velocidade a l