Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = sen(x) - x

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = s e n x - x

Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será x ∈ R .

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com o eixo x .

f ( x ) = s e n x - x

Se x = 0 :

f 0 = 0

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f x = s e n x - x

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f - x = s e n - x + x

Como o seno é uma função ímpar:

f - x = - s e n x + x

Com isso, vemos que f x = - f - x . Portanto, nossa função será ímpar o que nos leva a concluir que a curva será simétrica com relação ao eixo y .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas.

  1. Assíntota horizontal:

L = lim x → ∞ ⁡ s e n x - x

Como a função seno é limita entre [ - 1,1 ] , quando x → ∞ o termo - x irá superar a função seno. Logo,

L = lim x → ∞ ⁡ - x → L = - ∞

Para x → - ∞ : L = lim x → - ∞ ⁡ s e n x - x

Assim,

L = lim x → - ∞ ⁡ - x → L = ∞

Então, vemos que não teremos nenhuma assíntota horizontal.

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f x = s e n x - x

Derivando,

f ' x = cos ⁡ x - 1

Para f ' x > 0 :

cos ⁡ x - 1 > 0 → cos ⁡ x > 1

Logo, não há solução nesse caso, pois cos ⁡ x nunca pode ser maior que 1.

Para f ' x < 0 :

cos ⁡ x - 1 < 0 → cos ⁡ x < 1

Resolvendo a inequação:

x ∈ R - π 2 + 2 k π , com k ∈ Z .

Logo, nossa função será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f ' x = 0 :

f ' x = cos ⁡ x - 1

Logo,

cos ⁡ x - 1 = 0

Resolvendo, temos:

cos ⁡ x = 1 → x = 2 k π , com k ∈ Z

Passo 7

Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de f ' ' .

f ' x = cos ⁡ x - 1

Derivando,

f ' ' x = - s e n x

Para f ' ' x > 0 :

- s e n x > 0

Logo,

s e n x < 0

Resolvendo, temos:

π 2 + 2 k π < x < 3 π 2 + 2 k π

Nesse intervalo, nossa curva possui concavidade para cima.

Para f ' ' x < 0 :

- s e n x < 0

Logo,

s e n x > 0

Resolvendo, temos:

- π 2 + 2 k π < x < π 2 + 2 k π

Nesse intervalo, nossa curva possui concavidade para baixo.

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de f :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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