a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valor

inicial

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. y'' + 2y' + 2y = f(t); y(0) = 0, y'(0) = 0

É

y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ

(b) Mostre que, sef(t) = delta(t - pi) , então a solução do item (a) se reduz a

y = u_pi(t) \* e^(-(t - pi)) \* sen(t - pi)

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. (c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f(t)

δ(t - pi) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

Passo 1

b) Tendo a solução do item (a), teremos que simplesmente estar aplica a transformada de Laplace em f t e substituindo na resposta e vamos ver no que resultara.

f s = L f t = δ s - π

Passo 2

Vamos lá substituindo na resposta do item (a), temos:

Para caso t < π , temos:

y t = ∫ 0 t e - t - s s e n   t - s δ s - π d s

y t = ∫ 0 t e - t - s s e n   t - s ∙ 0   d s = 0

Para caso t > π , temos:

y t = ∫ 0 t e - t - s s e n t - s δ s - π d s

y t = e - t - π s e n t - π

Agora colocando t = π + ϵ , ϵ > 0 ,   e tendo ϵ → 0 , nós temos:

lim ϵ → 0 + ⁡ f π + ϵ = l i m ϵ → 0 +   e - ϵ s e n ϵ = 0 = f π

Portanto, nós temos:

y = u π t e - t - π s e n t - π

Resposta

b) y = u π t e - t - π s e n t - π

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