Enunciado

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

y ( 4 ) - 4 y = 0   ; y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = - 2   e   y ' ' ' 0 = 0

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

y ( 4 ) - 4 y = 0   ; y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = - 2   e   y ' ' ' 0 = 0

Utilizando a transformação de Laplace, podemos dizer que :

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )  

Então:

L f n t = s n L f t - ∑ k = 0 n - 1 s n - 1 - k f k ( 0 )

Com essas considerações, vamos sair do domínio de t para o domínio de s , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de t .

Passo 2

Sendo o nosso PVI:

y ( 4 ) - 4 y = 0   ; y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = - 2   e   y ' ' ' 0 = 0

Aplicando Laplace nos temos dados, teremos:

L y ( 4 - 4 y } = L { 0 }

Então:

s 4 L y - s 3 f 0 - s 2 f ' 0 - s f ' ' 0 - f ' ' ' 0 - 4 L y = 0

Logo, aplicando as condições dadas pelo problema:

f s s 4 - 4 - s 3 1 - s 2 0 - s - 2 - 0 = 0

Isolando f ( s ) teremos:

f s = s 3 + 2 s ( s 4 - 4 ) = s ( s 2 - 2 ) ( s 2 + 2 ) ( s 2 - 2 ) = s s 2 + 2

Cortando termos em comum:

f s = s s 2 + 2

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de s para t .

Passo 3

Agora, devemos retornar ao domínio de t fazendo uma transformação inversa de Laplace, que pode ser dada por:

cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Se a 2 = 2 , então a = 2 .

f t = cos ⁡ 2 t

Resposta

f t = cos ⁡ 2 t

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