Avalie a integral.

∫ x 4 + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 d x

Passo 1

Aplicando frações parciais:

x 4 + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = A x + B x + C ( x 2 + 1 ) + D x + E ( x 2 + 1 ) 2

x 4 + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = A ( x 2 + 1 ) 2 + B x + C [ x x 2 + 1 ] + + D x + E x x ( x 2 + 1 ) 2

x 4 + 1 = A ( x 2 + 1 ) 2 + B x + C [ x x 2 + 1 ] + + D x + E x

Fazendo as considerações para valores de x, é possível encontrar os seguintes valores para os coeficientes: A = 1 ; B = 0 ; C = 0 ; D = - 2 ,   E = 0

Agora substituiremos os valores dos coeficientes nas frações parciais: x 4 + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = 1 x - 2 x ( x 2 + 1 ) 2

Pronto, agora é só resolver!

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

∫ x 4 + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 d x = ∫ 1 x - 2 x ( x 2 + 1 ) 2 d x

Na primeira parte temos uma integral imediata:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Na segunda integral faremos substituição simples:

∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 2 d x

u = x 2 + 1 ,   d u = 2 x d x  

∫ 1 u 2 d u =   - 1 u + C

Retornando para x:

∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 2 d x = - 1 x 2 + 1 + C

Então temos que:

∫ 1 x - 2 x ( x 2 + 1 ) 2 d x = ln ⁡ x - 1 x 2 + 1 + C

Moleza né? :P

Resposta

∫ x 4 + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 d x = ln ⁡ x - 1 x 2 + 1 + C

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