Avalie a integral.

∫ 0 π sin 4 ⁡ ( 3 t ) d t

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral:

∫ 0 π sin 2 ⁡ 3 t 2   d t

Podemos tornar o seno aplicando sin 2 ⁡ x + cos 2   ⁡ x = 1 , da seguinte forma:

∫ 1 2 1 - cos ⁡ 6 t 2 d t

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Calculando o produto notável da integral, fica assim:

∫ 0 π 1 4 ( 1 - 2 cos ⁡ 6 t + cos 2 ⁡ 6 t ) d t

Reorganizando, temos:

1 4 ∫ 0 π [ 1 - 2 cos ⁡ 6 t + 1 2 1 + cos ⁡ 12 t ) d t

1 4 ∫ 0 π ( 3 2 - 2 cos ⁡ 6 t + 1 2 cos ⁡ 12 t ) d t

Agora podemos resolver!!

∫ 0 π sin 4 ⁡ ( 3 t ) d t = 1 4 [ 3 2 t - 1 3 sin ⁡ 6 t + 1 2 4 sin ⁡ 12 t ] 0 π  

1 4 [ 3 2 π - 1 3 sin ⁡ 6 × π + 1 24 sin ⁡ 12 × π - ( 0 - 1 3 sin ⁡ 6 × 0 + 1 24 sin ⁡ 12 × 0 ) ]      

∫ 0 π sin 4 ⁡ ( 3 t ) d t = 1 4 [ 3 2 π - 0 + 0 - ( 0 - 0 + 0 ) ]      

∫ 0 π sin 4 ⁡ ( 3 t ) d t = 3 8 π  

Finishh!! :)

Resposta

∫ 0 π sin 4 ⁡ ( 3 t ) d t = 3 8 π  

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