Enunciado

Calcule a integral.

int (y)/(y + 2) d y

Passo 1

Vamos lá, para resolver essa integral vamos fazer uma pequena manipulação para termos como aplicar o método de Frações Parciais:

int (y)/(y + 2) d y = int ((y + 2) - 2)/(y + 2) d y = int (y + 2)/(y + 2) - (2)/(y + 2) d y = int 1 - (2)/(y + 2) d y = int 1 d y + int - (2)/(y + 2) d y

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

A primeira é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

int 1 d y = y + C

Já com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um y no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = y + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d y = d y

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (2)/(y + 2) d y = int - (2)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int - (2)/(u) d u = - 2 int (1)/(u) d u = - 2 ln |u| + C

Passo 3

Juntando temos:

int (y)/(y + 2) d y = int 1 d y + int - (2)/(y + 2) d y = y - 2 ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável y , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (y)/(y + 2) d y = y - 2 ln |u| + C = y - 2 ln |y + 2| + C

Resposta

int (y)/(y + 2) d y = y - 2 ln |y + 2| + C

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