Avalie a integral.

∫ 1 e 3 x - e x d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos uma divisão, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, então fazemos substituições!!

Para o valor de u , vamos ter

u = e x  

Se quisermos o valor de x , teremos x = ln ⁡ u e a derivada disso é d x = d u u . Substituimos os valores:

∫ 1 e 3 x - e x d x = ∫ 1 u 3 - u d u u  

Agora simplificamos a equação:

∫ 1 u 3 - u d u u = - ∫ d u u - 1 u 2 u + 1 = ∫ 1 2 u - 1 - 1 u 2 - 1 2 u + 1 d u

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

∫ 1 2 u - 1 - 1 u 2 - 1 2 u + 1 d u = 1 u + 1 2 ln ⁡ u - 1 u + 1 + C

Portanto, substituindo o valor de u :

∫ 1 e 3 x - e x d x = 1 e x + 1 2 ln ⁡ e x - 1 e x + 1 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 e 3 x - e x d x = 1 e x + 1 2 ln ⁡ e x - 1 e x + 1 + C

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