Avalie a integral.

∫ d x x 2 16 x 2 - 9

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo 4 x = 3 s ec ⁡ θ , onde 0 ≤ θ ≤ π 2 . Logo, derivando temos d x = 3 4 sec ⁡ θ d θ .

Para 16 x 2 - 9 , temos que

16 ( 3 4 sec ⁡ θ ) 2 - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 9 = 3 sec 2 ⁡ θ - 1 = 3 tan ⁡ θ

Assim podemos substituir!!

∫ 3 4 sec ⁡ θ d θ ( 3 sec ⁡ θ 4 ) 2 3 tan ⁡ θ

Simplificamos a integral e teremos:

4 9 ∫ cos ⁡ θ d θ

Essa integral tem como resultado:

4 9 ∫ cos ⁡ θ d θ = 4 9 sin ⁡ θ + C

Passo 2

Esboçando o triangulo retângulo associado, temos:

Então,

∫ d x x 2 16 x 2 - 9 = 4 9 16 x 2 - 9 4 x + C = 16 x 2 - 9 9 x + C

Prontinho!!

Resposta

∫ d x x 2 16 x 2 - 9 = 4 9 16 x 2 - 9 4 x + C = 16 x 2 - 9 9 x + C

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