Enunciado

Avalie a integral.

int_1^4 (2 + x^2)/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (2 + x^2)/(sqrt(x)) d x = int (2 + x^2)/(x^((1)/(2))) d x = int (2 + x^2) x^(- (1)/(2)) d x = int 2 x^(- (1)/(2)) + x^2 * x^(- (1)/(2)) d x =

= int 2 x^(- (1)/(2)) + x^(2 - (1)/(2)) d x = int 2 x^(- (1)/(2)) + x^((3)/(2)) d x = int 2 x^(- (1)/(2)) d x + int x^((3)/(2)) d x

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int 2 x^(- (1)/(2)) d x + int x^((3)/(2)) d x = 2 int x^(- (1)/(2)) d x + (x^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) + C = 2 * (x^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) + (x^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) + C =

= 2 * (x^((1)/(2)))/((1)/(2)) + (x^((5)/(2)))/((5)/(2)) + C = 2 * 2 * x^((1)/(2)) + (2)/(5) x^((5)/(2)) + C = 4 x^((1)/(2)) + (2)/(5) x^((5)/(2)) + C

Passo 2

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^4 (2 + x^2)/(sqrt(x)) d x = (4 x^((1)/(2)) + (2)/(5) x^((5)/(2)))_1^4 = 4 * 4^((1)/(2)) + (2)/(5) * 4^((5)/(2)) - (4 * 1^((1)/(2)) + (2)/(5) * 1^((5)/(2))) =

= 4 * sqrt(4) + (2)/(5) * sqrt(4^5) - (4 * 1 + (2)/(5) * 1) = 4 * 2 + (2)/(5) * sqrt(1024) - (4 + (2)/(5)) =

= 8 + (2)/(5) * sqrt(1024) - ((20 + 2)/(5)) = 8 + (2)/(5) * 32 - (22)/(5) = 8 + (64)/(5) - (22)/(5) = (40 + 64 - 22)/(5) = (82)/(5)

Resposta

int_1^4 (2 + x^2)/(sqrt(x)) d x = (82)/(5)

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Suponha que ∫ 0 1 f x d x = 1 2 ,∫ 1 2 f x d x = 1 4, ∫ 0 3 f x d x = - 1 ,∫ 0 1 g x d x = 2 Em cada parte, use essa informação para calcular a integral dada, se possível. Se não houver informações su
Em cada parte, calcule a integral. Quando apropriado, use uma fórmula geométrica. ∫ - 1 1 ( 1 + 1 - x 2 ) d x ∫ 0 3 ( x x 2 + 1 - 9 - x 2 ) d x ∫ 0 1 x 1 - x 4 d x
Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.