Dê um argumento geométrico para calcular:

∫ 0 1 2 x - 1 d x

Passo 1

A primeira coisa que faremos é analisar quando a função dentro do módulo será nula:

2 x - 1 = 0

2 x = 1

x = 1 2

O intervalo fornecido pelo exercício é de 0 até 1 , onde 0 ≤ x ≤ 1 . Mas, no meio desse intervalo a função é nula, isso significa que vamos dividir em dois intervalos importantes, um extremo esquerdo onde teremos valores estritamente negativos dentro do módulo e outro a direita, onde os valores são positivos. O primeiro intervalo será:

0 ≤ x ≤ 1 2

E também :

1 2 ≤ x ≤ 1

Agora, podemos resovelr a integral:

∫ 0 1 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 / 2 - ( 2 x - 1 ) d x + ∫ 1 / 2 1 ( 2 x - 1 ) d x

Assim, conseguimos resolver a integral!

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral negativa, onde:

∫ 0 1 2 - 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 / 2 - 2 x + 1   d x

Lembrando que a integral da subtração ou soma, é a subtração ou soma das integrais:

∫ 0 1 2 - 2 x + 1   d x = ∫ 0 1 2 - 2 x   d x + ∫ 0 1 2 1   d x

∫ 0 1 / 2 - 2 x + 1   d x = [ - x 2 ] 0 1 / 2 + [ x ] 0 1 / 2 = - 1 4 + 1 2 = 1 4

Então, temos a primeira integral.

Passo 3

Agora, resolveremos a integral positiva, onde:

∫ 1 2 1 2 x - 1 d x = ∫ 1 2 1 2 x - 1   d x

Lembrando que a integral da subtração ou soma, é a subtração ou soma das integrais:

∫ 1 2 1 2 x - 1   d x = ∫ 1 2 1 2 x   d x - ∫ 1 2 1 1   d x

∫ 1 2 1 2 x - 1   d x = [ x 2 ] 1 / 2   1 - x 1 2 1 = 1 - 1 4 - 1 - 1 2 = 3 4 - 1 2 = 1 4

Feito isso, vamos pra parte final do exercício.

Passo 4

Retornando ao nosso foco principal que é resolver a integral:

∫ 0 1 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 / 2 - ( 2 x - 1 ) d x + ∫ 1 / 2 1 ( 2 x - 1 ) d x

Agora, com os termos calculados separamente, temos:

∫ 0 1 2 x - 1 d x = 1 4 + 1 4 = 2 4 = 1 2  

∫ 0 1 2 x - 1 d x = 1 2 = 0,5  

Analisando graficamente, temos:

A área colorida no gráfico é a área calculada pela integral.

Resposta

∫ 0 1 2 x - 1 d x = 1 2 = 0,5  

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