Enunciado

Exercício: 46 – Calcule a integral abaixo:

int (1)/((x^((1)/(3)) - 1) sqrt(x)) d x

Seja: x = u^6

Passo 1

Seja: x^((1)/(3)) = root(3)(x)

int (1)/((root(3)(x) - 1) sqrt(x)) d x

Resolvendo por udu:

u^6 = x

d x = 6 u^5 d u

int (1)/((root(3)(u^6) - 1) sqrt(u^6)) 6 u^5 d u = int (6 u^5)/((u^2 - 1) u^3) d u = int (6 u^2)/(u^2 - 1) d u

Resolvendo a divisão de:

(6 u^2)/(u^2 - 1) = 6 + (6)/(u^2 - 1)

Assim:

int 6 + (6)/(u^2 - 1) d u = 6 int d u + int (6)/(u^2 - 1) d u

6 u + int (6)/(u^2 - 1) d u

u^2 - 1 = ( u + 1 ) ( u - 1 )

Passo 2

Utilizando pelo método de frações parciais:

(6)/(u^2 - 1) = (A)/(u + 1) + (B)/(u - 1)

Tirando mmc:

(6)/(u^2 - 1) = (A (u - 1) + B ( u + 1 ))/(u^2 - 1)

Poderemos simplificar os denominadores e ficaremos com:

6 = A (u - 1) + B ( u + 1 )

Realizando a forma distributiva:

6 = A u - A + B u + B

Agrupando os conjuntos:

6 = (A + B) u - A + B

Assim:

A + B = 0

- A + B = 6

B = 6 + A

A + 6 + A = 0 |2 A + 6 = 0| 2 A = - 6 ; A = - (6)/(2) ; A = - 3

Para A = - 3 logo B será: B = 6 - 3 | B = 3

Para A = - 3 e B = 3 substituimos na expressão:

(- 3)/(u + 1) + (3)/(u - 1)

Inserindo na integral:

6 u + int (- 3)/(u + 1) + (3)/(u - 1) d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

6 u + int (- 3)/(u + 1) + (3)/(u - 1) d u

Separando em integrais:

6 u - 3 int (1)/(u + 1) d u + 3 int (1)/(u - 1) d u

6 u - 3 ln (u + 1) + 3 ln (u - 1)

Dado: u^6 = x ; u = x^((1)/(6))

Substituindo:

6 x^((1)/(6)) + 3 ln |(x^((1)/(6)) - 1)/(x^((1)/(6)) + 1)| + C

Resposta

6 x^((1)/(6)) + 3 ln |(x^((1)/(6)) - 1)/(x^((1)/(6)) + 1)| + C

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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes . t 6 + 1 t 6 + t 3 x 5 + 1 x 2 - x x 4 + 2 x 2 + 1
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