Avalie a integral.

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra início de conversa, nós temos frações parciais com expoentes iguais, então temos que fazer algumas simplificações pra faze o numerador ter grau menor que o denominador. Saca só!

3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 = 3 x 2 + 3 x + 2 - 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2 = 3 x 2 + 3 x + 2 x 2 + 3 x + 2 - 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2

3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 = 3 - 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2

Fatorando o denominador, vamos encontrar:

3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 = 3 - 3 x + 4 x + 2 x + 1

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 = 3 - 3 x + 4 x + 2 x + 1 = 3 + A x + 2 + B x + 1

- 3 x + 4 x + 2 x + 1 = A x + 2 + B x + 1

Multiplicando tudo por ( x + 2 ) ( x + 1 ) , temos:

- 3 x + 4 = A ( x + 1 ) + B ( x + 2 )

Resolvendo isso temos que:

- 3 x + 4 = A x + A + B x + 2 B

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + B = - 3

A + 2 B = - 4

Resolvendo esse sistema isolando A na primeira equação e substituindo na segunda:

A + B = - 3 → A = - 3 - B

- 3 - B + 2 B = - 4

B = - 1

Logo, encontramos que

A = - 2

Substituindo, temos:

- 3 x + 4 x + 2 x + 1 = - 2 x + 2 - 1 x + 1

Passo 3

Com isso, podemos integrar...

3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 = 3 - 2 x + 2 - 1 x + 1

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = ∫ 1 2 3 - 2 x + 2 - 1 x + 1 d x

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = ∫ 1 2 3 d x - ∫ 1 2 2 x + 2 d x - ∫ 1 2 1 x + 1 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que:

∫ 3 d x = 3 x + C

∫ 2 x + 2 d x = 2 ln ⁡ x + 2 + C

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1 + C

Aplicando os limites de integração:

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 3 x - 2 ln ⁡ x + 2 - ln ⁡ x + 1 1 2

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 3 2 - 2 ln ⁡ 2 + 2 - ln ⁡ 2 + 1 - 3 1 - 2 ln ⁡ 1 + 2 - ln ⁡ 1 + 1

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 3 - 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 - - 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 3 - 2 ln ⁡ 4 + ln ⁡ 3 + ln ⁡ 2

Podemos simplificar o termo 2 ln ⁡ 4 se lembrarmos da propriedade dos logaritmos:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Nesse caso, temos:

2 ln ⁡ 4 = 2 ln ⁡ 2 2 = 4 ln ⁡ 2

Substituindo na resposta:

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 3 - 4 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + ln ⁡ 2

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 3 + ln ⁡ 3 - 3 ln ⁡ 2

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 3 + ln ⁡ 3 - 3 ln ⁡ 2

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