Avalie a integral.

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações parciais com expoentes iguais, então não temos um método específico. Como o denominador é redutível, temos

3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 = 3 x 2 + 6 x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1 ) = 3 x 2 + 6 x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1 )

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

3 x 2 + 6 x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1 ) = A x + 2 + B x + 1

Multiplicando tudo por ( x + 2 ) ( x + 1 ) , temos:

3 x 2 + 6 x + 2 = A ( x + 1 ) + B ( x + 2 )

Resolvendo isso temos que:

3 x 2 + 6 x + 2 = A x + A + B x + 2 B

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + B = 6

A + 2 B = 2

Resolvendo esse sistema, multiplicamos a primeira equação por ( - 1 ) :

- A - B = - 6

A + 2 B = 2

Portanto: A = 10 e B = - 4 . Substituindo, temos:

3 x 2 + 6 x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1 ) = 10 x + 2 - 4 x + 1

Passo 3

Com isso, podemos integrar...

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 10 x + 2 - 4 x + 1

= ∫ 1 2 10 x + 2 d x - ∫ 1 2 4 x + 1 d x

Fazemos uma substituição para as duas temos que: u = x + 2 e d u = d x (só muda um termo)

= 10 ln ⁡ ( x + 2 ) 1 2 - 4 ln ⁡ x + 1 1 2

Agora é só substituirmos os intervalos:

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 10 ln ⁡ ( 4 ) - 10 ln ⁡ 3 - 4 ln ⁡ 3 - 4 ln ⁡ 2

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 2 3 x 2 + 6 x + 2 x 2 + 3 x + 2 d x = 10 ln ⁡ ( 4 ) - 10 ln ⁡ 3 - 4 ln ⁡ 3 + 4 ln ⁡ 2

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