Avalie a integral.

∫ 1 4 y ln ⁡ y d y

Passo 1

Essa é bem simples!! Vamos apenas usar o método de integração por partes e depois aplicar os intervalos, na seguinte forma:

u = ln ⁡ y               d u = 1 y d y

d v = y d y             v = 2 3 y y

Agora é só aplicarmos!!

Passo 2

Aplicando o método:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 1 4 y ln ⁡ y d y = 2 y y 3 × ln ⁡ y 1 4 - ∫ 1 4 2 y y 3 × 1 y d y

Organizando as integrais e resolvendo:

∫ 1 4 y ln ⁡ y d y = 2 y y 3 × ln ⁡ y 1 4 - 2 3 ∫ 1 4 y d y

= 2 y y 3 × ln ⁡ y 1 4 - 2 3 ∫ 1 4 y d y

= 2 y y 3 × ln ⁡ y 1 4 - 2 3 2 y y 3 1 4

= 2 3 y y × ln ⁡ y 1 4 - 4 9 y y 1 4

Nosso resultado será:

= 2 3 16 ln ⁡ 2 - 4 9 7

∫ 1 4 y ln ⁡ y d y = 32 3 ln ⁡ 2 - 28 9

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 4 y ln ⁡ y d y = 32 3 ln ⁡ 2 - 28 9

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