Calcule a Integral abaixo:

8 - ∫ 0 π s e n 5 x 2     d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

∫ 0 π s e n 2 x 2   s e n 2 x 2   s e n   x 2   d x

Dado pela identidade trigonométrica, s e n 2 x 2 = 1 - cos 2 ⁡ x 2

Assim teremos:

∫ 1 - cos 2 ⁡ x 2 1 - cos 2 ⁡ x 2 s e n x 2 d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = cos ⁡ x 2

d u = - s e n x 2 2

d x = 1 d u = - 1 s e n x 2 2 = - 2 s e n x 2  

Substituindo teremos:

∫ 0 π 1 - u 2 1 - u 2 ⋅ s e n   x 2 ⋅ - 2 s e n   x 2 d u

Resolvendo a integral temos:

∫ 0 π u 4 - 2 u 2 + 1 ⋅ - 2 s e n   x 2 s e n   x 2 d u

∫ 0 π - 2 u 4 - 2 u 2 + 1 d u

Substituindo por udu, teremos:

∫ 0 π - 2 u 4 + 4 u 2 - 2   d u

Passo 2

Resolvendo a integral de forma indefinida:

- 2 u 5 5 + 4 u 3 3 - 2 u + c

Substituindo para   u = cos ⁡ x 2

- 2 cos 5 ⁡ x 2 5 + 4 cos 3 ⁡ x 2 3 - 2 cos ⁡ x 2 + c

Passo 3

Resolvendo a integral como definida: - 2 cos 5 ⁡ x 2 5 + 4 cos 3 ⁡ x 2 3 - 2 cos ⁡ x 2 + c 0 π =

- 2 cos 5 ⁡ π 2 5 + 4 cos 3 ⁡ π 2 3 - 2 cos ⁡ π 2 + c - - 2 cos 5 ⁡ 0 2 5 + 4 cos 3 ⁡ 0 2 3 - 2 cos ⁡ 0 2 + c

Seja cos ⁡ π 2 =   0   e cos ⁡ 0 = 1

  - 2 0 5 + 4 0 3 - 2 0 + C - - 2 ( 1 ) 5 + 4 ( 1 ) 3 - 2 ( 1 ) ⁡ + c

Resolvendo os cálculos teremos:

- 0 5 + 0 3 - 0 + c + 2 5 - 4 3 + 2 - c

2 5 - 4 3 + 2 =

6 15 - 20 15 + 30 15 = 16 15

Resposta

16 15

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