Calcule a Integral abaixo:

12 - ∫ cos 3 ⁡ 2 x sen 5 ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

∫ sen 5 ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ 2 x ⋅ cos ⁡ 2 x   d x

Dado pela identidade trigonométrica, cos 2 ⁡ 2 x = 1 - sen 2 ⁡ 2 x

Assim teremos:

∫ sen 5 ⁡ 2 x * 1 - s e n 2 2 x ⋅ cos ⁡ 2 x   d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = s e n   2 x

d u =   2 c o s   2 x

d x = 1 d u = 1 2 c o s   2 x

Substituindo teremos:

∫ s e n 5 2 x ( 1 - sen 2 ⁡ 2 x ) ⋅ cos ⁡ 2 x ⋅ 1 2 c o s   2 x d u

Resolvendo a integral temos:

∫ s e n 5 2 x ( 1 - sen 2 ⁡ 2 x ) cos ⁡ 2 x 2   cos ⁡ 2 x d u

Substituindo por udu, teremos:

∫ 1 2 u 5 1 - u 2 d u = 1 2 ∫ u 5 - u 7 d x

Passo 2

Resolvendo a integral:

1 2 u 6 6 - u 8 8 + c

Substituindo para   u = s e n   2 x

1 2 s e n 6 2 x 6 - s e n 8 2 x 8 + c

Passo 3

Resolvendo a multiplicação de 1 2 pelos termos teremos:

s e n 6 2 x 12 - s e n 8 2 x 16 + c

Resposta

s e n 6 2 x 12 - s e n 8 2 x 16 + c

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