Enunciado

Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.

26. y = sen ⁡ π x ,     y = x 2 - x ,   x = 2

Passo 1

Esboçando as curvas vamos ter que a área entre elas é essa:

Podemos realizar as integrações em relação a x para calcular a área desejada:

Aquele tamanho y vai ser a diferença entre sen ⁡ π x e ( x 2 - x ) , quando integrarmos de 0 até 1   , e a diferença entre ( x 2 - x ) e sen ⁡ π x , quando integrarmos de 1 até 2 , então a integral para descobrir a área fica:

A = ∫ 0 1 sen ⁡ π x - x 2 - x d x + ∫ 1 2 ( x 2 - x ) - sen ⁡ π x d x

A integral de uma soma é igual a soma das integrais:

A = ∫ 0 1 sen ⁡ π x d x + ∫ 0 1 - x 2 + x d x + ∫ 1 2 x 2 - x d x - ∫ 1 2 sen ⁡ π x d x

A integral do seno é menos o cosseno (para integrar o sen ⁡ π x   só usar a substituição u = π x ):

A = - cos ⁡ π x π - x 3 3 + x 2 2 0 1 + x 3 3 - x 2 2 + cos ⁡ π x π 1 2

Aplicando os limites de integração:

A = - cos ⁡ π π - 1 3 + 1 2 - - cos ⁡ 0 π - 0 3 + 0 3 +

+ 2 3 3 - 2 2 2 + cos ⁡ 2 π π - 1 3 - 1 2 + cos ⁡ π π

A = 1 π - 1 3 + 1 2   - - 1   π + 8 3 - 2 + 1 π - 1 3 - 1 2 - 1 π

A = 4 π + 6 3 - 2

A = 4 π + 1

Resposta

A = 4 π + 1

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