Calcule a integral definida.

∫ - π 4 π 4 tan 5 ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Observe que o integrando é par e o intervalo é simétrico. Isso significa que podemos escrever

I = ∫ - π 4 π 4 tan 5 ⁡ x   d x = 2 ∫ 0 π 4 tan 5 ⁡ x   d x

Além disso, no primeiro quadrante, temos que tan ⁡ x > 0 , de modo que podemos tirar o módulo da integral:

I = 2 ∫ 0 π 4 tan 5 ⁡ x   d x

Passo 2

Para calcular essa integral você deve lembrar que

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1               e               tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Assim, temos que

tan 5 ⁡ x = tan 3 ⁡ x ⋅ tan 2 ⁡ x = tan 3 ⁡ x   ( sec 2 ⁡ x - 1 )

Portanto,

tan 5 ⁡ x = tan 3 ⁡ x sec 2 ⁡ x - tan 3 ⁡ x = tan 3 ⁡ x sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 )

Logo,

tan 5 ⁡ x = tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x sec 2 ⁡ x + tan ⁡ x

Portanto,

I = 2 ∫ 0 π 4 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x + 2 ∫ 0 π 4 tan ⁡ x   d x

Passo 3

Para a primeira integral fazemos a substituição t = tan ⁡ x , com d t = sec 2 ⁡ x   d x . Já na segunda integral, basta você lembrar que a primitiva da tangente é - ln ⁡ cos ⁡ x . Assim

I = 2 ∫ 0 1 t 3 - t   d t - 2   ln ⁡ cos ⁡ x 0 π 4

Portanto,

I = 2 t 4 4 - t 2 2 0 1 - 2 ln ⁡ cos ⁡ π 4 cos ⁡ 0

Desta forma,

I = 2 1 4 - 1 2 - 2 ln ⁡ 1 2

Mas sabemos que

2 ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 2 2 = ln ⁡ 1 2 = - ln ⁡ 2

Assim,

I = - 1 2 + ln ⁡ 2

Resposta

- 1 2 + ln ⁡ 2

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