Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int x sqrt(1 - x^2) d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int x sqrt(1 - x^2) d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 1 - x^2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 2 x d x :.

d u = - 2 x d x :.

- (d u)/(2) = x d x

Vamos agora fazer a substituição:

int x sqrt(1 - x^2) d x = int - (sqrt(u))/(2) d u = int - (u^((1)/(2)))/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int - (u^((1)/(2)))/(2) d u = - (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u :.

int - (u^((1)/(2)))/(2) d u = - (1)/(2) * (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + C :.

int - (u^((1)/(2)))/(2) d u = - (1)/(2) * (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C :.

int - (u^((1)/(2)))/(2) d u = - (1)/(2) * (2)/(3) * u^((3)/(2)) + C :.

int - (u^((1)/(2)))/(2) d u = - (u^((3)/(2)))/(3) + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int x sqrt(1 - x^2) d x = - (u^((3)/(2)))/(3) + C :.

int x sqrt(1 - x^2) d x = - ((1 - x^2)^((3)/(2)))/(3) + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int x sqrt(1 - x^2) d x = - ((1 - x^2)^((3)/(2)))/(3) + C

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