Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ cos ⁡ θ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de θ 2 com  sen ⁡ θ , então vamos fazer

u = sen ⁡ θ

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d θ no final:

u = sen ⁡ θ → d u = sen ⁡ θ ' d θ = cos ⁡ θ 1 2 θ d θ

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ cos ⁡ θ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Temos então que

∫ cos ⁡ θ θ u 2 d θ

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = cos ⁡ θ 1 2 θ d θ → 2 d u = 2 cos ⁡ θ 1 2 θ d θ → 2 d u = cos ⁡ θ 1 θ d θ

Agora podemos substituir na integral :D

∫ cos ⁡ θ θ u 2 d θ = ∫ 2 d u u 2 = 2 ∫ d u u 2 = 2 ∫ u - 2 d u

Passo 4

Agora podemos resolver a integral acima usando a tabela de primitivas:

2 ∫ u - 2 d u = 2 - u - 1 + C = - 2 u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ cos ⁡ θ θ sen 2 ⁡ θ d θ = - 2 sen ⁡ θ + C

Resposta

- 2 sen ⁡ θ + C

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