Enunciado

Avalie a integral indefinida.

int sen t sqrt(1 + cos t) d t

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 1 + cos t

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - sen t d t -> d u = - sen t d t -> - d u = sen t d t

Vamos agora fazer a substituição:

int sen t sqrt(1 + cos t) d t = int - sqrt(u) d u = int - u^((1)/(2)) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int - u^((1)/(2)) d u = - int u^((1)/(2)) d u = - (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + C = - (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C = - (2 u^((3)/(2)))/(3) + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int sen t sqrt(1 + cos t) d t = - (2 u^((3)/(2)))/(3) + C = - (2 (1 + cos t)^((3)/(2)))/(3) + C

Resposta

int sen t sqrt(1 + cos t) d t = - (2 (1 + cos t)^((3)/(2)))/(3) + C

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