Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int ((arctan (x))^2)/(x^2 + 1) d x

Passo 1

Quando vemos uma integral com funções trigonométricas até bate um frio na barriga, né? Porém, aqui não vamos ter medo e sim utilizar uma substituição sagaz para simplificar nosso problema e a gente conseguir resolver de maneira mais simples. Dessa forma, tomemos

arctan (x) = u -> (1)/(1 + x^2) = (d u)/(d x) -> d u = (d x)/(1 + x^2)

E, então, podemos reescrever nossa integral em função de u e ela vai ficar bem mais simples e factível sendo escrita como

int u^2 d u = (u^3)/(3) + C

E para finalizar (sim, já vamos finalizar o problema que parecia ser impossível) basta retornarmos para a variável x de origem e teremos

(u^3)/(3) + C = (arctan^3 (x))/(3) + C

Resposta

(arctan^3 (x))/(3) + C

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