Enunciado

A face de um dique tem a forma de um arco de curva y = - 100 cos ⁡ π x 200 ,     x ∈ [ - 100 ,   100 ] , e a superfície da água chega até a borda do dique. Ache a força decorrente da pressão da água na face do dique se a distância for medida em metros.

Passo 1

Bom, a questão nos pede a força da pressão, então vamos usar a seguinte equação:

F = ∫ a b ρ g x f x d x

Onde x é a profundidade em que a face está submersa e f(x) é o comprimento da face. Substituindo pela equação da curva, e substituindo os limites de integração:

F = ∫ - 100 100 - ρ g x 100 cos ⁡ π x 200   d x

E tomando ρ = 1000 e g = 10 :

F = ∫ - 100 100 - 1000   .   10   .   100 x cos ⁡ π x 200   d x

F = - 1000000 ∫ - 100 100 xcos ⁡ π x 200   d x

Passo 2

Vamos resolver a integral por integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos primeiro fazer a integral indefinida sem o termo de fora, e depois aplicamos tudo no final. Vamos chamar u = x e d v = cos ⁡ π x 200   d x , o resultado será:

∫ xcos ⁡ π x 200   d x = - 200 π x s e n π x 200 + ∫ sen ⁡ π x 200   d x

E agora resolvendo a ultima integral:

∫ sen ⁡ π x 200   d x

Substituindo u = π x 200 → d u = π 200 d x

200 π ∫ sen ⁡ u   d u

Integrando:

200 π c o s u + c

Retornando para x:

200 π c o s π x 200 + c

Substituindo na integral anterior:

∫ xcos ⁡ π x 200   d x = - 200 π x s e n π x 200 + 200 π c o s π x 200 + c

Colocando alguns termos em evidência:

∫ xcos ⁡ π x 200   d x = 200 π c o s π x 200 - x s e n π x 200 + c

Multiplicando pela constante que tínhamos separado e aplicando os limites:

F = - 10 6 . 200 π c o s π 100 200 - 100 s e n π 100 200 - c o s - π 100 200 - 100 s e n - π 100 200

Resolvendo os senos e os cossenos:

F = - 10 6 . 200 π 0 - 100 - 0 - 100

F = 40000 π . 10 6

F = 4 π   .   10 10   N

Resposta

F = 4 π   .   10 10   N

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