Avalie a integral.

∫ sin ⁡ ² ( 1 / t ) t 2   d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos lembrar da seguinte identidade:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Substituindo na nossa integral:

∫ 1 - cos ⁡ 2 1 t   2 t 2   d t

= 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 t   t 2   d t

Passo 2

Agora, pela regra da soma:

1 2 ∫ 1 t 2   d t - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 t   t 2   d t

Para a primeira integral:

1 2 ∫ 1 t 2   = - 1 t

Para a segunda, vamos utilizar a regra da substituição:

u = 2 t d t = - t 2 2 d u

Substituindo u e d u / d t   , temos:

∫ - cos ⁡ u 2 d u

= - 1 2 ∫ cos ⁡ u  

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

= - 1 2 ∫ cos ⁡ u   d u

= - 1 2 sin ⁡ u

Substituindo u :

1 4 sin ⁡ 2 t - 1 2 t + C

Resposta

1 4 sin ⁡ 2 t - 1 2 t + C

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