Enunciado

Nos exercícios de 37 a 44, calcule a integral definida. (42) ∫ π / 12 π / 6 ( c o t g 3 x + c o s e c ( 3 x ) ) d x

Passo 1

Você pode se assustar ao olhar essa integral, até tem umas coisas de trigonometria ali, o que, por si só, já causa um certo desconforto. Mas vamos olhar com mais calma e ver o que o probelma nos dá.

f x = ∫ π / 12 π / 6 ( c o t g 3 x + c o s e c ( 3 x ) ) d x = ∫ π / 12   π / 6 c o t g ( 3 x ) d x + ∫ π / 12 π / 6   c o s e c ( 3 x ) d x

Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essass integrais de uma maneira mais amigável. Lembra la da teoria de trigonometria? Então, de lá a gente tira que c o t g x = cos ⁡ x / s e n ( x ) . Vamos colocar isso aí dentro da integral e ver como fica.

f x = ∫ π / 12 π / 6 cos ⁡ 3 x s e n ( 3 x ) d x + ∫ π / 12 π / 6 c o s e c 3 x d x

Passo 2

Vamos resolver cada integral que compõe a f ( x ) separadamente. Seja h x = ∫ cos ⁡ 3 x s e n 3 x e g x = ∫ cosec ⁡ 3 x d x . . Inicialmente vamos esquecer os limites de integração, para facilitar as nossas contas.

Para h ( x ) temos:

h x = ∫ cos ⁡ 3 x s e n 3 x  

Essa integral é mais suave de resolver. Sabemos que a derivada do seno é o cosseno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Seja u = sen ⁡ 3 x → d u = 3 c o s 3 x d x → d u 3 = c o s 3 x d x .

h u = 1 3 ∫ d u u

Olha que maravilha ficou essa integral pra resolver! Integrando ela teremos:

h u = 1 3 ln ⁡ u

Iniciamos a questão usando a variável x . Para escrever o resultado final, precisamos voltar para ela. Como definimos anteriormente que u = s e n ( 5 x ) , temos:

h x = 1 3 ln ⁡ s e n 3 x + C

Agora vamos entrar com os limites de integração para encontrarmos o valor final dessa integral! Nó temos que a variável x varia de π / 12 a π / 6 . Assim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

h x = 1 3 ln ⁡ s e n 3 x π 12 π 6 = 1 3 ln ⁡ s e n 3 π 6 - ln ⁡ s e n 3 π 12 h x = 1 3 ln ⁡ s e n π 2 - ln ⁡ s e n π 4 h x = 1 3 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 2 = - 1 3 ln ⁡ 2 2

Passo 3

Para a g ( x ) também vamos esquecer os limites de integração para resolvermos com maior tranquilidade. Assim:

g ( x ) = ∫ csc ⁡ 3 x d x

Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) .

g x ∫ c s c ⁡ ( 3 x ) ⋅ csc ⁡ 3 x + c o t g ( 3 x ) csc ⁡ 3 x + c o t g ( 3 x ) d x = ∫ c s c ² ( 3 x ) + csc ⁡ 3 x c o t g 3 x csc ⁡ 3 x + c o t g ( 3 x ) d x

Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja u = csc ⁡ 3 x + c o t g 3 x → d u = 3 [ - csc ⁡ 3 x c o t g - c s c ² ( 3 x ) ] d x → d u / 3 = [ - csc ⁡ 3 x c o t g 3 x - c s c ² ( 3 x ) ] d x .

g u = - ∫ d u 3 u

Depois da substituição de variável podemos ver que ficou extremamente mais simples do que era! Agora é mole de resolver!

g u = - 1 3 ln ⁡ u + C

A gente começou a questão em função de x , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que u = csc ⁡ 3 x + c o t g ( 3 x ) ,

g x = - 1 3 ln ⁡ csc ⁡ 3 x + c o t g 3 x + C

Agora vamos entrar com os limites de integração para encontrarmos o valor final dessa integral! Nó temos que a variável x varia de π / 12 a π / 6 . Assim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

g x = - 1 3 ln ⁡ csc ⁡ 3 x + c o t g 3 x π 12 π 6 = - 1 3 ln ⁡ csc ⁡ 3 π 6 + c o t g 3 π 6 - ln ⁡ csc ⁡ 3 π 12 + c o t g 3 π 6 g x = - 1 3 ln ⁡ csc ⁡ π 2 + c o t g π 2 - ln ⁡ csc ⁡ π 4 + c o t g π 4 g x = - 1 3 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + 1 = - 1 3 - ln ⁡ 2 + 1 g x = - 1 3 ln ⁡ 2 + 1 - 1 = - 1 3 ln ⁡ 1 2 + 1 ⋅ 2 - 1 2 - 1 g x = - 1 3 l n ⁡ ( 2 - 1 )

Resposta

O resultado é:

∫ π / 12 π / 6 ( c o t g 3 x + c o s e c ( 3 x ) ) d x = - 1 3 ln ⁡ 2 2 - 1 3 ln ⁡ 2 - 1

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