Avalie a integral.

∫ 1 - sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos ver:

Podemos tornar o seno aplicando sin 2 ⁡ x + cos 2   ⁡ x = 1 , da seguinte forma:

∫ 1 - sin ⁡ x cos ⁡ x × 1 + sin ⁡ x cos ⁡ x d x

∫ 1 - sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ( 1 + sin ⁡ x ) d x

∫ cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x d x

Pronto, mas ainda não tá tudo certo! Por isso fazemos uma substituição:

u = 1 + sin ⁡ x                         d u = cos ⁡ x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Aplicando a substituição na integral, temos

∫ 1 u d u

Resolvendo a integral, fica assim:

∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | + C

Substituindo o nosso valor de u :

∫ 1 - sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ln ⁡ | 1 + sin ⁡ x | + C

Finishh!! :)

Resposta

∫ 1 - sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ln ⁡ | 1 + sin ⁡ x | + C

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