Enunciado

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = z i ^ + y j ^ + x k ^

S   é   o   h e l i c o i d e   d e   E x e r c í c i o   7   c o m   o r i e n t a ç ã o   a s c e n d e n t e .

Passo 1

O helicoide do exercício 7 tem a seguinte função parametrizada:

r → = u cos ⁡ v ; u   s e n   v ; v

Assim o campo vetorial F → em termos dessas variáveis é:

F → = v ;   u   s e n   v ; u cos ⁡ v  

Passo 2

Beleza? Agora vamos calcular o vetor normal a esse helicoide:

n → = r u → × r v →

Mas, quem são r u → e r v → ? São as derivadas parciais do vetor r → ali do passo anterior! Vamos calcular essas derivadas:

r u → = cos ⁡ v ;   s e n   v ; v

r v → = - u   s e n v   ; u cos ⁡ v ;   1

E agora sim vamos ao produto vetorial:

r u → × r v → = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v s e n   v v - u   s e n v u cos ⁡ v   1 = i ^ s e n   v + j ^ - cos ⁡ v + k ^ u c o s 2 v + u s e n 2 v = s e n   v ;   - c o s v ; u

Feito!

Passo 3

Agora vamos calcular o campo em função da nova parametrização:

F → u , v = v   i ^ + u   s e n v   j ^ + u   c o s v   k ^

Passo 4

E agora calcular o produto escalar dos vetores dos passos 2 e 3 , pois esse será nosso integrando:

s e n   v ;   - c o s v ; u ⋅ v ; u   s e n v ; u   c o s v = v   s e n v - u s e n   v   c o s v + u 2 cos ⁡ v

E nosso domínio de integração? Bom, conforme o exercício 7 temos 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ π . Agora é só jogar tudo isso na integral, vamos lá?

Passo 5

∫ 0 π ∫ 0 1 v   s e n v - u s e n   v   c o s v + u 2 cos ⁡ v d u d v

Vamos começar calculando a integral em u . Considerando v como constante teremos:

∫ 0 π u v s e n   v - u 2 2 s e n   v   c o s v + u 3 3 cos ⁡ v 0 1 d v

Aplicando nos limites temos:

∫ 0 π [ v   s e n v - 1 2 s e n   v cos ⁡ v + 1 3 cos ⁡ v ] d v

Agora é só verificar se não sobrou nenhum u por ali e fazer a integração em v :

- v c o s   v + s e n   v + cos ⁡ v 4 4 + 1 3 s e n   v 0 π = - π - 1 + 0 + - 1 4 4 + 0 - - 0 + 0 + 1 4 + 0

π + 1 4 - 1 4 = π

Resposta

π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

32- Determine o fluxo de F x , y , x = s e n x y z i + x 2 y j + z 2 e x 5 k através da parte do cilindro 4 y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano x y e entre os planos x = - 2 e x = 2 com orientação p
29- Calcule ∫ ∫ S x y zd S preciso até a quarta casa decimal, onde S é a superfície z = x y ,0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F.d S para o campo vetorial F e a superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação
Seja T a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4 . Calcular I =∫ ∫ S y z d y d z + x z d z d x + x y d x d y = OndeS é a face da frente de TS é a face de T qu
Calcular I =∫ ∫ S x d y d z + y d z d x + z d x d y Onde S é a superfície exterior do cilindro x 2 + z 2 = a 2 Limitado pelos planos y =- 4 y = 4