Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 22
Avalie a integral de superfície para o campo vetorial dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
Passo 1
O helicoide do exercício tem a seguinte função parametrizada:
Assim o campo vetorial em termos dessas variáveis é:
Passo 2
Beleza? Agora vamos calcular o vetor normal a esse helicoide:
Mas, quem são e ? São as derivadas parciais do vetor ali do passo anterior! Vamos calcular essas derivadas:
E agora sim vamos ao produto vetorial:
Feito!
Passo 3
Agora vamos calcular o campo em função da nova parametrização:
Passo 4
E agora calcular o produto escalar dos vetores dos passos e , pois esse será nosso integrando:
E nosso domínio de integração? Bom, conforme o exercício temos e . Agora é só jogar tudo isso na integral, vamos lá?
Passo 5
Vamos começar calculando a integral em . Considerando como constante teremos:
Aplicando nos limites temos:
Agora é só verificar se não sobrou nenhum por ali e fazer a integração em :