Enunciado

32- Determine o fluxo de F x , y , x = s e n x y z i + x 2 y j + z 2 e x 5 k através da parte do cilindro 4 y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano x y e entre os planos x = - 2 e x = 2 com orientação para cima. Ilustre, usando um sistema algébrico computacional para desenhar o cilindro e o campo vetorial na mesma tela.

Passo 1

Como não visto o teorema da divergência nessa seção vamos calcular o fluxo pela fórmula presente na definição 7 na página 1112 que nos diz que o fluxo é igual a:

∫ ∫ S F .   n   d S

Onde n é igual a:

n = - g x x , y i - g y x , y j + k g x x , y 2 + g y x , y 2 + 1

Onde a função g é a função z , onde no caso dessa questão pode ser encontrada pela equação do cilindro e que será igual a:

z = 4 - 4 y 2 = 2 1 - y 2

Dessa forma:

g x = 0 ;         g y = 2 × - 2 y 2 1 - y 2 = - 2 y 1 - y 2

Logo a orientação n será igual a:

n = 0 i + 2 y 1 - y 2 j 1 + 4 y 2 1 - y 2 = 0 i + 2 y 1 - y 2 1 + 3 y 2 1 - y 2 j + k 1 + 3 y 2 1 - y 2

E d S será igual a:

d S = d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d x d y

O que deixa nossa integral como:

∫ ∫ s e n x y z i + x 2 y j + z 3 e x 5 k . 0 i + 2 y 1 - y 2 - 1 2 j + 1 k   d x d y

Onde x está no intervalo:

- 2 ≤ x ≤ 2

E:

- 1 ≤ y ≤ 1

Pois é entre estes valores onde z é positivo.

Passo 2

Isso nos deixa com a integral igual a:

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 2 y 2 x 2 1 - y 2 - 1 2 + e x 5 2 1 - y 2 2 d x d y

Utilizando o CAS para integral a primeira função nós conseguimos como resposta:

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 2 y 2 x 2 1 - y 2 - 1 2 = 16 π 3

E para a segunda:

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 4   e x 5 1 - y 2   d x d y = 80 3 e 2 5 - 80 3 e - 2 5

Dessa forma a reposta exata disso é:

1 3 16 π + 80 e 2 5 - 80 e - 2 5

Passo 3

Resposta

1 3 16 π + 80 e 2 5 - 80 e - 2 5

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