Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 25
Avalie a integral de superfície para o campo vetorial dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
Passo 1
Vamos começar olhando a região de integração. No plano é um quarto de círculo de raio então:
Passo 2
A função é , então o vetor normal é:
E o produto escalar entre esse vetor e o campo é:
Mas sabemos que , então o produto escalar é:
E em coordenadas polares , então temos:
E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?
Passo 3
Como não as variáveis são independentes, podemos fazer as duas integrações simultaneamente:
Para integrar em , vou usar a substituição:
Assim:
E os limites? Quando temos que e quando temos que .
Então substituindo temos:
Agora sim podemos resolver as integrais:
Agora vamos aplicar os limites:
E resolver essas últimas multiplicações: