Enunciado

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = x i ^ - z j ^ + y k ^

S   é   a   p a r t e   d a   e s f e r a   x 2 + y 2 + z 2 = 4   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e ,   c o m   o r i e n t a ç ã o   p a r a   a   o r i g e m .

Passo 1

Vamos começar olhando a região de integração. No plano x y é um quarto de círculo de raio 2   então:

d A = r d r d θ 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ π / 2

Passo 2

A função g x , y = z é g x , y = 4 - x 2 - y 2 , então o vetor normal n → é:

n → = - - x 4 - x 2 - y 2 ,   - y 4 - x 2 - y 2 ,   1

E o produto escalar entre esse vetor e o campo F → é:

x ; - z ; y ⋅ - x 4 - x 2 - y 2 ,   - y 4 - x 2 - y 2 ,   1 = - x 2 4 - x 2 - y 2 + y z 4 - x 2 - y 2 - y

Mas sabemos que z = 4 - x 2 - y 2 , então o produto escalar é:

- x 2 4 - x 2 - y 2

E em coordenadas polares x = r c o s θ   e   y = r s e n θ , então temos:

- r c o s θ 2 4 - r 2

E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?

Passo 3

- ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 r c o s θ 2 4 - r 2 r d r d θ ∫ 0 π / 2 c o s θ 2 d θ ∫ 0 2 r 3 4 - r 2 d r

Como não as variáveis são independentes, podemos fazer as duas integrações simultaneamente:

∫ 0 π / 2 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ   d θ ∫ 0 2 r 3 4 - r 2 d r    

Para integrar em r , vou usar a substituição:

u = 4 - r 2

Assim:

d u = - 2 r d r ∴ r d r = - 1 2 d u

r 2 = 4 - u

E os limites? Quando r = 0 temos que u = 4 e quando r = 2 temos que u = 4 - 4 = 0 .

Então substituindo temos:

= θ 2 + 1 4 s e n 2 θ 0 π / 2 . ∫ 4 0 - 1 2 4 - u u - 1 2   d u

Agora sim podemos resolver as integrais:

= θ 2 + 1 4 s e n 2 θ 0 π / 2 . - 1 2   8 u - 2 3 u 3 2 4 0

Agora vamos aplicar os limites:

π 4 + 1 4 s e n 4 π - 0 2 - 1 4 s e n 0 . - 1 2 0 - 0 - 8 4 + 2 3 4 3 2 = - π 4 . - 1 2 - 16 + 16 3

E resolver essas últimas multiplicações:

- 4 3 π  

Resposta

- 4 3 π  

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