Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = y   j - z   k   ,

S é formada pelo paraboloide y = x 2 + z 2   ,     0 ≤ y ≤ 1 e pelo círculo x 2 + z 2 ≤ 1   ,     y = 1   .

Passo 1

Vamos considerar que S 1 é o paraboloide e S 2 é o disco. Como S é uma superfície fechada, nós usamos a orientação para fora. Em S 1 , teremos:

r x ,   z = x   i + x 2 + z 2   j + z   k   ,     x 2 + z 2 ≤ 1

F r x ,   z = 0   i + x 2 + z 2   j - z   k

r x × r z = 2 x   i - j + 2 z   k

Note que a componente em j deve ser negativa em S 1 , para que tenhamos orientação para fora.

Passo 2

Agora, vamos escrever a integral para S 1 e calculá-la:

∫ ∫ S 1   F ∙ d S = ∬ x 2 + z 2 ≤ 1   0   .   2 x + x 2 + z 2 - 1 + - z 2 z   d A = ∬ x 2 + z 2 ≤ 1   - x 2 + z 2 - 2 z 2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r 2 - 2 r 2   s e n 2   θ   r   d r   d θ = ∫ 0 2 π ( - 1 - 2   s e n 2   θ ) d θ ∫ 0 1 r 3 d r = - θ - θ - s e n 2 θ 2 0 2 π r 4 4 0 1 = - 4 π 1 4 = - π

Passo 3

Para S 2 , teremos:

r x ,   z = x   i + j + z   k   ,               x 2 + z 2 ≤ 1

F r x ,   z = 0   i + j - z   k

r z × r x = 0   i + j + 0   k

Então,

∫ ∫ S 2   F ∙ d S = ∬ x 2 + z 2 ≤ 1   0   .   0 + 1   .   1 + - z   .   0   d A = ∬ x 2 + z 2 ≤ 1   1   d A = π 1 2 = π

Finalmente, temos:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ S 1   F ∙ d S + ∫ ∫ S 2   F ∙ d S = - π + π = 0

Resposta

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