Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x   i + y   j + z 4   k   ,

S é a parte do cone z = x 2 + y 2 abaixo do plano z = 1 , com orientação para baixo.

Passo 1

Galera, aqui temos z = g x ,   y = x 2 + y 2 , e então podemos usar a seguinte fórmula para calcular a integral, dado que S tem orientação para baixo:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A

Onde,

F = P   i + Q   j + R   k = x   i + y   j + z 4   k .

Ou seja,

P = x

Q = y

R = z 4

Calculando as derivadas parciais, temos,

∂ g ∂ x = x x 2 + y 2

∂ g ∂ y = y x 2 + y 2

Substituindo tudo na fórmula,

∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A = ∫ ∫ D x x x 2 + y 2 + y y x 2 + y 2 - z 4 d A = ∫ ∫ D x 2 + y 2 x 2 + y 2 - z 4 d A = ∫ ∫ D x 2 + y 2 - z 4 d A

Passo 2

Além disso, teremos D = x ,   y   x 2 + y 2 ≤ 1 } , então é melhor calcular a integral em coordenadas polares:

x = r   c o s θ  

y = r   s e n θ

z = r

Substituindo e não esquecendo de multiplicas pelo Jacobiando, que neste caso será igual a r . Ficamos com,

∫ ∫ D x 2 + y 2 - z 4 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 [ r - r 4 ] r   d r   d θ = 2 π r 3 3 - r 6 6 0 1 = 2 π 1 3 - 1 6 = π 3

Resposta

π 3

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